数学变换

一、Z变换

1.1 什么是Z变换

如果你正在学数字滤波器（FIR / IIR），你一定见过这样的写法：

$$H(z) = \frac{1 - z^{-1}}{1 - 0.7267 \cdot z^{-1}}$$

然后有人告诉你”令 $z = e^{j\omega}$ 就能得到频率响应”。

你可能会想：$z$ 到底是什么？$z^{-1}$ 为什么代表”延迟一拍”？为什么做了 Z 变换就能直接看出频率特性？这个公式是怎么来的，又是怎么用的？

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1.2 为什么需要 Z 变换

1.2.1 一个具体的问题

假设你设计了一个简单的一阶 IIR 低通滤波器（当前输入和历史输出各取一半做平均，直觉上就是在”平滑”信号，抑制快速变化的高频成分）：

$$y[n] = 0.5 \cdot x[n] + 0.5 \cdot y[n-1]$$

每个采样周期，输出 = 当前输入的一半 + 上一次输出的一半。采样率 $f_s = 40$ MHz。

现在问你三个问题：

1. 这个低通滤波器的截止频率是多少？
2. 在 2 MHz 处信号衰减了多少 dB？
3. 如果我想把截止频率从当前值改到 8 MHz，系数应该怎么调？

用差分方程你一个都答不了。 差分方程只告诉你”下一拍的输出怎么从当前输入和历史值算出来”，它是时域的、逐拍的、局部的。要回答频率相关的问题，你需要一个工具把时域的递推关系变成频域的代数关系。

这个工具就是 Z 变换。

1.2.2 连续世界的类比：拉普拉斯变换

如果你学过自动控制或模拟电路，你知道连续时间系统用拉普拉斯变换来分析。一个 RC 低通滤波器的微分方程：

$$RC \cdot \frac{dy(t)}{dt} + y(t) = x(t)$$

做拉普拉斯变换后变成：

$$H(s) = \frac{1}{1 + sRC}$$

微分变成了乘 $s$，时域的微分方程变成了 $s$ 域的代数方程，分析和设计都简单得多。

Z 变换就是拉普拉斯变换在离散时间世界的对应物。 拉普拉斯变换处理连续信号（电压、电流随时间连续变化），Z 变换处理离散信号（采样数据、数字系统中的数值序列）。拉普拉斯变换把微分方程变成 $s$ 的多项式，Z 变换把差分方程变成 $z$ 的多项式。

	连续时间	离散时间
信号表示	$x(t)$	$x[n]$
变换工具	拉普拉斯变换 $X(s)$	Z 变换 $X(z)$
核心变量	$s = \sigma + j\omega$	$z = re^{j\omega}$
微分/差分	$\frac{d}{dt} \leftrightarrow s$	延迟一拍 $\leftrightarrow z^{-1}$
稳定性判据	$s$ 左半平面	$z$ 单位圆内
频率响应	令 $s = j\omega$	令 $z = e^{j\omega}$

1.2.3 Z 变换能做什么

一句话总结：Z 变换把”逐拍递推”的差分方程变成”一步到位”的代数方程，让你可以：

• 直接看出滤波器的频率响应（通带、阻带、截止频率）
• 判断系统是否稳定（极点是否在单位圆内）
• 用代数方法设计滤波器系数（而不是靠猜）
• 把复杂的卷积运算变成简单的乘法

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1.3 Z 变换的定义

1.3.1 正式定义

对于一个离散时间序列 $x[n]$（$n = 0, 1, 2, \ldots$），它的（单边）Z 变换定义为：

$$X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] \cdot z^{-n}$$

其中 $z$ 是一个复数变量。

展开写就是：

$$X(z) = x[0] \cdot z^{0} + x[1] \cdot z^{-1} + x[2] \cdot z^{-2} + x[3] \cdot z^{-3} + \cdots$$ $$= x[0] + \frac{x[1]}{z} + \frac{x[2]}{z^2} + \frac{x[3]}{z^3} + \cdots$$

看起来就是把序列的每个值乘以 $z^{-n}$ 作为权重然后加起来。$z^{-1}$ 代表”延迟一个采样周期”，$z^{-2}$ 代表”延迟两个”，以此类推。

直觉理解：Z 变换就像是给序列中的每个采样值贴一个”时间标签” $z^{-n}$，然后全部求和。$z^{-1}$ 的含义是”这个值比当前晚了一拍”。

如果 $x[n]$ 对所有 $n$（包括负数）都有定义，则使用双边 Z 变换：

$$X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \cdot z^{-n}$$

工程中处理因果系统（输出不依赖未来输入）时，单边 Z 变换就够用了。

1.3.2 $z$ 是什么

$z$ 是一个复数，可以写成极坐标形式： $$z = r \cdot e^{j\omega}$$

其中 $r$ 是模（到原点的距离），$\omega$ 是角度（归一化角频率）。

当 $r = 1$ 时，$z = e^{j\omega}$ 落在复平面的单位圆上。此时 Z 变换退化为离散时间傅里叶变换（DTFT）：

$$X(e^{j\omega}) = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] \cdot e^{-jn\omega}$$

这就是为什么”令 $z = e^{j\omega}$“就能得到频率响应——你把 Z 变换限制在单位圆上，看的就是系统对不同频率的响应。

1.3.3 收敛域（ROC）

Z 变换的级数不是对所有 $z$ 都收敛的。使级数收敛的 $z$ 值的集合叫做收敛域（Region of Convergence, ROC）。

例如序列 $x[n] = a^n \cdot u[n]$（$u[n]$ 是单位阶跃，$n \geq 0$ 时为 1，$n < 0$ 时为 0）：

$$X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cdot z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{a}{z}\right)^n$$

这是一个等比级数，收敛条件是 $|a/z| < 1$，即 $|z| > |a|$。

$$X(z) = \frac{1}{1 - a \cdot z^{-1}} = \frac{z}{z - a}, \quad |z| > |a|$$

ROC 是复平面上以 $|a|$ 为半径的圆的外部。对于因果稳定系统，ROC 必须包含单位圆（$|z| = 1$），这要求 $|a| < 1$，也就是极点在单位圆内。

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1.4 常见信号的 Z 变换推导

以下逐一推导工程中最常用的几个 Z 变换对，每一步都写清楚。

1.4.1 单位冲激 $\delta[n]$

$$x[n] = \delta[n] = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \neq 0 \end{cases}$$

代入定义：

$$X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \delta[n] \cdot z^{-n} = \delta[0] \cdot z^{0} + \delta[1] \cdot z^{-1} + \cdots = 1 \cdot 1 + 0 + 0 + \cdots = 1$$ $$\boxed{\delta[n] \overset{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow}1, \quad \text{ROC: 全 } z \text{ 平面}}$$

冲激信号的 Z 变换是常数 1，这很合理——冲激包含所有频率成分且权重相等。

1.4.2 延迟冲激 $\delta[n - n_0]$

$$x[n] = \delta[n - n_0]$$

代入定义（只有 $n = n_0$ 时非零）：

$$X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \delta[n - n_0] \cdot z^{-n} = 1 \cdot z^{-n_0} = z^{-n_0}$$ $$\boxed{\delta[n - n_0] \overset{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} z^{-n_0}}$$

这是 Z 变换中最重要的结论之一：延迟 $n_0$ 拍就是乘以 $z^{-n_0}$。这就是为什么 $z^{-1}$ 代表”延迟一拍”——它不是一个数学巧合，而是直接从定义推出来的。

比如一个数字系统中 $y[n] = x[n-1]$（输出等于输入延迟一拍），对应的 Z 域表达就是 $Y(z) = z^{-1} \cdot X(z)$。

1.4.3 单位阶跃 $u[n]$

$$x[n] = u[n] = \begin{cases} 1, & n \geq 0 \\ 0, & n < 0 \end{cases}$$

代入定义：

$$X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} 1 \cdot z^{-n} = 1 + z^{-1} + z^{-2} + z^{-3} + \cdots$$

这是首项为 1、公比为 $z^{-1}$ 的等比级数，收敛条件 $|z^{-1}| < 1$ 即 $|z| > 1$：

$$X(z) = \frac{1}{1 - z^{-1}} = \frac{z}{z - 1}, \quad |z| > 1$$ $$\boxed{u[n] \overset{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} \frac{1}{1 - z^{-1}} = \frac{z}{z - 1}, \quad |z| > 1}$$

注意极点在 $z = 1$，ROC 是单位圆外部。直觉上，阶跃信号包含直流分量（频率为 0），而 $z = 1$ 对应频率 0（$e^{j \cdot 0} = 1$），极点在直流频率上说明系统在直流处有无穷增益——确实，阶跃信号的”能量”不断累积。

1.4.4 指数序列 $a^n \cdot u[n]$

$$x[n] = a^n \cdot u[n], \quad n \geq 0$$

代入定义：

$$X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cdot z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty} (a z^{-1})^n$$

等比级数，收敛条件 $|az^{-1}| < 1$ 即 $|z| > |a|$：

$$\boxed{a^n \cdot u[n] \overset{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} \frac{1}{1 - a z^{-1}} = \frac{z}{z - a}, \quad |z| > |a|}$$

这是最基础的变换对，后面很多变换都是它的变体。

当 $a = 1$ 时退化为阶跃信号的 Z 变换 $\frac{z}{z-1}$。当 $|a| < 1$ 时序列收敛于 0（衰减指数），当 $|a| > 1$ 时序列发散（增长指数）。

1.4.5 $n \cdot a^n \cdot u[n]$（斜坡 × 指数）

利用 Z 域微分性质：如果 $x[n] \overset{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} X(z)$，则 $n \cdot x[n] \overset{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} -z \frac{dX(z)}{dz}$。

已知 $a^n \cdot u[n] \overset{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} \frac{z}{z-a}$，求导：

$$\frac{d}{dz}\left(\frac{z}{z-a}\right) = \frac{(z-a) \cdot 1 - z \cdot 1}{(z-a)^2} = \frac{-a}{(z-a)^2}$$

乘以 $-z$：

$$-z \cdot \frac{-a}{(z-a)^2} = \frac{az}{(z-a)^2}$$ $$\boxed{n \cdot a^n \cdot u[n] \overset{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} \frac{az}{(z-a)^2} = \frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2}, \quad |z| > |a|}$$

当 $a = 1$ 时得到斜坡序列的 Z 变换：$n \cdot u[n] \overset{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} \frac{z}{(z-1)^2}$。

1.4.6 正弦序列 $\sin(\omega_0 n) \cdot u[n]$

利用欧拉公式：$\sin(\omega_0 n) = \frac{e^{j\omega_0 n} - e^{-j\omega_0 n}}{2j}$

已知 $a^n \cdot u[n] \overset{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} \frac{z}{z-a}$，令 $a = e^{j\omega_0}$ 和 $a = e^{-j\omega_0}$：

$$\mathcal{Z}\{\sin(\omega_0 n) \cdot u[n]\} = \frac{1}{2j}\left(\frac{z}{z - e^{j\omega_0}} - \frac{z}{z - e^{-j\omega_0}}\right)$$

通分合并：

$$= \frac{1}{2j} \cdot \frac{z(z - e^{-j\omega_0}) - z(z - e^{j\omega_0})}{(z - e^{j\omega_0})(z - e^{-j\omega_0})}$$

分子化简：

$$z(z - e^{-j\omega_0} - z + e^{j\omega_0}) = z(e^{j\omega_0} - e^{-j\omega_0}) = z \cdot 2j\sin\omega_0$$

分母化简（利用 $(z-e^{j\theta})(z-e^{-j\theta}) = z^2 - 2z\cos\theta + 1$）：

$$\frac{1}{2j} \cdot \frac{2jz\sin\omega_0}{z^2 - 2z\cos\omega_0 + 1} = \frac{z\sin\omega_0}{z^2 - 2z\cos\omega_0 + 1}$$ $$\boxed{\sin(\omega_0 n) \cdot u[n] \overset{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} \frac{z \sin\omega_0}{z^2 - 2z\cos\omega_0 + 1}, \quad |z| > 1}$$

1.4.7 余弦序列 $\cos(\omega_0 n) \cdot u[n]$

类似推导，利用 $\cos(\omega_0 n) = \frac{e^{j\omega_0 n} + e^{-j\omega_0 n}}{2}$：

$$\boxed{\cos(\omega_0 n) \cdot u[n] \overset{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} \frac{z(z - \cos\omega_0)}{z^2 - 2z\cos\omega_0 + 1}, \quad |z| > 1}$$

1.4.8 衰减正弦 $r^n \sin(\omega_0 n) \cdot u[n]$

在正弦序列的基础上把 $e^{j\omega_0}$ 替换为 $re^{j\omega_0}$（模变成 $r$），等价于把极点从单位圆上拉到半径 $r$ 的圆上：

$$\boxed{r^n \sin(\omega_0 n) \cdot u[n] \overset{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} \frac{rz\sin\omega_0}{z^2 - 2rz\cos\omega_0 + r^2}, \quad |z| > r}$$

当 $r < 1$ 时序列衰减，极点在单位圆内，系统稳定。

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1.5. Z 变换的性质

以下是 Z 变换最重要的性质，每条都配有推导或直觉解释。

1.5.1 线性

$$a_1 x_1[n] + a_2 x_2[n] \overset{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} a_1 X_1(z) + a_2 X_2(z)$$

直接从定义中求和的线性性得到。这意味着复杂系统可以拆成简单子系统分别变换再相加。

1.5.2 时移（延迟）

右移（延迟 $n_0$ 拍，因果信号）：

$$x[n - n_0] \overset{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} z^{-n_0} \cdot X(z)$$

推导： 令 $m = n - n_0$：

$$\mathcal{Z}\{x[n-n_0]\} = \sum_{n=0}^{\infty} x[n-n_0] \cdot z^{-n} = z^{-n_0} \sum_{m=-n_0}^{\infty} x[m] \cdot z^{-m}$$

对于因果信号（$x[m] = 0, m < 0$），求和下限可以改为 0：

$$= z^{-n_0} \cdot X(z)$$

这是 Z 变换最核心的性质。 时域中的延迟操作，在 Z 域中变成乘以 $z^{-n_0}$。这就是为什么差分方程可以直接替换：看到 $y[n-1]$ 就写 $z^{-1}Y(z)$，看到 $x[n-2]$ 就写 $z^{-2}X(z)$。

左移（超前 $n_0$ 拍）：

$$x[n + n_0] \overset{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} z^{n_0}\left[X(z) - \sum_{k=0}^{n_0-1}x[k]z^{-k}\right]$$

多出来的求和项是因为左移会把原来 $n < 0$ 的部分”移进来”，需要减掉初始条件。工程中因果系统很少用到左移。

1.5.3 Z 域尺度变换

$$z_0^n \cdot x[n] \overset{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} X\left(\frac{z}{z_0}\right)$$

推导：

$$\mathcal{Z}\{z_0^n x[n]\} = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] \cdot z_0^n \cdot z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] \cdot \left(\frac{z}{z_0}\right)^{-n} = X\left(\frac{z}{z_0}\right)$$

直觉：乘以 $z_0^n$ 相当于把 Z 平面上的极点和零点都按 $z_0$ 缩放。如果 $z_0 = e^{j\omega_0}$，就是频谱搬移（调制）。

1.5.4 时域反转

$$x[-n] \overset{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} X(z^{-1})$$

把 $z$ 替换为 $z^{-1}$，相当于把单位圆内外翻转。如果原信号因果（只在 $n \geq 0$ 有值），反转后变成反因果（只在 $n \leq 0$ 有值），ROC 也随之反转。

1.5.5 Z 域微分

$$n \cdot x[n] \overset{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} -z \frac{dX(z)}{dz}$$

推导： 对 $X(z) = \sum x[n] z^{-n}$ 关于 $z$ 求导：

$$\frac{dX(z)}{dz} = \sum_{n=0}^{\infty} x[n] \cdot (-n) \cdot z^{-n-1} = -\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty} n \cdot x[n] \cdot z^{-n}$$

因此：

$$-z\frac{dX(z)}{dz} = \sum_{n=0}^{\infty} n \cdot x[n] \cdot z^{-n} = \mathcal{Z}\{n \cdot x[n]\}$$

这个性质在之前推导 $n \cdot a^n$ 的 Z 变换时已经用过了。

1.5.6 卷积定理

$$x_1[n] * x_2[n] \overset{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} X_1(z) \cdot X_2(z)$$

这是 Z 变换最强大的性质。 时域中的卷积（$N$ 次乘加）在 Z 域中变成了简单的乘法。

FIR 滤波器的输出就是输入和系数的卷积：

$$y[n] = h[n] * x[n] = \sum_{k=0}^{N} h[k] \cdot x[n-k]$$

Z 变换后：

$$Y(z) = H(z) \cdot X(z)$$

所以 $H(z) = Y(z) / X(z)$ 就是系统的传递函数，完全由系数决定，与输入无关。

1.5.7 初值定理和终值定理

初值定理： $x[0] = \lim_{z \to \infty} X(z)$

终值定理： 如果 $(1-z^{-1})X(z)$ 的极点都在单位圆内，则 $\lim_{n \to \infty} x[n] = \lim_{z \to 1} (1-z^{-1})X(z)$

终值定理可以快速判断系统的稳态输出，不需要做逆变换。

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1.6 Z 变换性质汇总表

序号	性质	时域信号	Z 变换
1	线性	$a_1 x_1[n] + a_2 x_2[n]$	$a_1 X_1(z) + a_2 X_2(z)$
2	时移（右移/延迟）	$x[n - n_0]$	$z^{-n_0} X(z)$
3	时移（左移/超前）	$x[n + n_0]$	$z^{n_0}\left[X(z) - \sum_{k=0}^{n_0-1}x[k]z^{-k}\right]$
4	Z 域尺度	$z_0^{n} x[n]$	$X\left(\dfrac{z}{z_0}\right)$
5	时域反转	$x[-n]$	$X(z^{-1})$
6	Z 域微分	$n \cdot x[n]$	$-z \dfrac{dX(z)}{dz}$
7	卷积	$x_1[n] * x_2[n]$	$X_1(z) \cdot X_2(z)$
8	初值	$x[0]$	$\lim_{z \to \infty} X(z)$
9	终值	$\lim_{n \to \infty} x[n]$	$\lim_{z \to 1}(1-z^{-1})X(z)$

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1.7 常见 Z 变换对汇总表

序号	时域序列 $x[n]$（$n \geq 0$）	Z 变换 $X(z)$	ROC
1	$\delta[n]$	$1$	全平面
2	$\delta[n - n_0]$	$z^{-n_0}$	$z \neq 0$
3	$u[n]$	$\dfrac{z}{z-1}$	$\lvert z\rvert > 1$
4	$a^n u[n]$	$\dfrac{z}{z-a}$	$\lvert z\rvert > \lvert a\rvert$
5	$n \cdot u[n]$	$\dfrac{z}{(z-1)^2}$	$\lvert z\rvert > 1$
6	$n \cdot a^n u[n]$	$\dfrac{az}{(z-a)^2}$	$\lvert z\rvert > \lvert a\rvert$
7	$\sin(\omega_0 n) \cdot u[n]$	$\dfrac{z\sin\omega_0}{z^2 - 2z\cos\omega_0 + 1}$	$\lvert z\rvert > 1$
8	$\cos(\omega_0 n) \cdot u[n]$	$\dfrac{z(z - \cos\omega_0)}{z^2 - 2z\cos\omega_0 + 1}$	$\lvert z\rvert > 1$
9	$r^n\sin(\omega_0 n) \cdot u[n]$	$\dfrac{rz\sin\omega_0}{z^2 - 2rz\cos\omega_0 + r^2}$	$\lvert z\rvert > r$
10	$r^n\cos(\omega_0 n) \cdot u[n]$	$\dfrac{z(z - r\cos\omega_0)}{z^2 - 2rz\cos\omega_0 + r^2}$	$\lvert z\rvert > r$

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1.8 Z 变换的实际应用：回到滤波器

现在回到开头的问题，看看 Z 变换是怎么把”不可解”变成”一步到位”的。

1.8.1 从差分方程到传递函数

这里用一个一阶 IIR 低通滤波器作为例子来演示 Z 变换的完整流程。之所以选低通而不是高通，是因为低通的结构最简单，只有一个极点、没有零点，推导过程最清晰。后面 7.5 节会再分析一阶高通的例子，两者的核心区别在于传递函数的分子是否包含 $(1 - z^{-1})$ 因子：

	低通例子（7.1~7.2 节）	高通例子（7.5 节）
差分方程	$y[n] = 0.5 \cdot x[n] + 0.5 \cdot y[n\!-\!1]$	$y[n] = a_0(y[n\!-\!1] + x[n] - x[n\!-\!1])$
传递函数	$H(z) = \frac{0.5}{1 - 0.5z^{-1}}$	$H(z) = \frac{a_0(1 - z^{-1})}{1 - a_0 z^{-1}}$
分子零点	无（分子是常数）	$z = 1$（直流处）
直流增益	1（直流全通）	0（直流完全抑制）
高频增益	衰减（频率越高越小）	接近 1（高频全通）

高通比低通多了一个 $(1 - z^{-1})$ 因子，它在 $z = 1$（直流，频率 = 0）处引入零点，把直流完全压到 0。$(1 - z^{-1})$ 在时域就是 $x[n] - x[n-1]$（一阶差分），天然具有高通特性。低通没有这个因子，所以直流无衰减地通过。

理解了低通的推导过程后，高通只是在分子上多乘一项，方法完全一样。

现在开始推导。开头那个一阶 IIR 低通滤波器：

$$y[n] = 0.5 \cdot x[n] + 0.5 \cdot y[n-1]$$

对两边做 Z 变换。利用线性性和时移性质（$y[n-1] \overset{\mathcal{Z}}{\longleftrightarrow} z^{-1}Y(z)$）：

$$Y(z) = 0.5 \cdot X(z) + 0.5 \cdot z^{-1} \cdot Y(z)$$

把 $Y(z)$ 移到左边：

$$Y(z) - 0.5 z^{-1} Y(z) = 0.5 X(z)$$ $$Y(z)(1 - 0.5 z^{-1}) = 0.5 X(z)$$ $$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{0.5}{1 - 0.5 z^{-1}}$$

差分方程变成了关于 $z$ 的代数分式。 分子的零点决定了哪些频率被完全抑制，分母的极点决定了哪些频率被放大。

1.8.2 求频率响应（以 $f_s = 40$ MHz 为例）

令 $z = e^{j\omega}$，其中 $\omega = 2\pi f / f_s$：

$$H(e^{j\omega}) = \frac{0.5}{1 - 0.5 \cdot e^{-j\omega}}$$

分母展开为实部和虚部：

$$1 - 0.5 \cdot e^{-j\omega} = (1 - 0.5\cos\omega) + j(0.5\sin\omega)$$

取模：

$$|1 - 0.5 \cdot e^{-j\omega}| = \sqrt{(1 - 0.5\cos\omega)^2 + (0.5\sin\omega)^2}$$

展开括号：

$$= \sqrt{1 - \cos\omega + 0.25\cos^2\omega + 0.25\sin^2\omega}$$

利用 $\cos^2\omega + \sin^2\omega = 1$ 合并：

$$= \sqrt{1 - \cos\omega + 0.25} = \sqrt{1.25 - \cos\omega}$$

所以幅度响应为：

$$|H(e^{j\omega})| = \frac{0.5}{\sqrt{1.25 - \cos\omega}}$$

幅度响应的平方（后面解方程用得到）：

$$|H(e^{j\omega})|^2 = \frac{0.25}{1.25 - \cos\omega}$$

现在逐个回答开头的三个问题。

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问题 1：截止频率是多少？

先算直流增益。$\omega = 0$ 时 $e^{-j\omega} = e^0 = 1$：

$$|H(e^{j \cdot 0})| = \frac{0.5}{|1 - 0.5 \cdot 1|} = \frac{0.5}{0.5} = 1 \quad (0 \text{ dB})$$

-3 dB 截止频率的定义是幅度平方降到直流时的一半，即解 $|H|^2 = 0.5$：

$$\frac{0.25}{1.25 - \cos\omega_c} = 0.5$$ $$1.25 - \cos\omega_c = \frac{0.25}{0.5} = 0.5$$ $$\cos\omega_c = 0.75$$ $$\omega_c = \arccos(0.75) = 0.7227 \text{ rad}$$

换算成实际频率：

$$f_c = \frac{\omega_c \cdot f_s}{2\pi} = \frac{0.7227 \times 40 \times 10^6}{2\pi} = \frac{28.908 \times 10^6}{6.2832} \approx 4.60 \text{ MHz}$$

结论：$f_s = 40$ MHz 时，截止频率约为 4.60 MHz。

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问题 2：2 MHz 处衰减多少？

先算归一化角频率：

$$\omega = \frac{2\pi \times 2 \times 10^6}{40 \times 10^6} = \frac{2\pi}{20} = 0.3142 \text{ rad}$$ $$\cos(0.3142) = 0.9511$$

代入幅度公式：

$$|H| = \frac{0.5}{\sqrt{1.25 - 0.9511}} = \frac{0.5}{\sqrt{0.2989}} = \frac{0.5}{0.5467} = 0.9145$$

换算成 dB：

$$A(2\text{MHz}) = 20 \cdot \log_{10}(0.9145) = 20 \times (-0.0388) = -0.78 \text{ dB}$$

结论：2 MHz 处只衰减了 0.78 dB，信号幅度保留了 91.5%，几乎不受影响。这也符合预期——2 MHz 远低于截止频率 4.60 MHz，处在通带内。

再算一个 10 MHz 的作为对比：

$$\omega = \frac{2\pi \times 10 \times 10^6}{40 \times 10^6} = \frac{\pi}{2} = 1.5708 \text{ rad}$$ $$\cos(\pi/2) = 0$$ $$|H| = \frac{0.5}{\sqrt{1.25 - 0}} = \frac{0.5}{1.118} = 0.4472$$ $$A(10\text{MHz}) = 20 \cdot \log_{10}(0.4472) = -6.99 \approx -7.0 \text{ dB}$$

结论：10 MHz 处衰减约 7 dB，信号幅度只剩 44.7%。10 MHz 已经超过截止频率 4.60 MHz，处在过渡带中。但注意衰减只有 7 dB，说明这个一阶低通的滚降很缓慢（-20 dB/dec），远没有达到”彻底滤除”的程度。

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问题 3：如果想把截止频率从 4.6 MHz 改到 8 MHz，系数应该怎么调？

把传递函数写成一般形式 $H(z) = \frac{b_0}{1 - a_1 z^{-1}}$，其中 $b_0 = 1 - a_1$（保证直流增益为 1）。

幅度平方：

$$|H|^2 = \frac{(1-a_1)^2}{1 + a_1^2 - 2a_1\cos\omega}$$

令 $|H|^2 = 0.5$（-3 dB 条件）并整理：

$$2(1-a_1)^2 = 1 + a_1^2 - 2a_1\cos\omega_c$$

目标截止频率 $f_c = 8$ MHz，对应：

$$\omega_c = \frac{2\pi \times 8}{40} = 0.4\pi = 1.2566 \text{ rad}$$ $$\cos(1.2566) = \cos(0.4\pi) = 0.3090$$

代入 -3 dB 条件展开：

$$2(1 - 2a_1 + a_1^2) = 1 + a_1^2 - 2a_1 \times 0.3090$$ $$2 - 4a_1 + 2a_1^2 = 1 + a_1^2 - 0.618a_1$$ $$a_1^2 - 3.382a_1 + 1 = 0$$

用求根公式：

$$a_1 = \frac{3.382 \pm \sqrt{3.382^2 - 4}}{2} = \frac{3.382 \pm \sqrt{7.438}}{2} = \frac{3.382 \pm 2.727}{2}$$

两个根：$a_1 = 3.055$ 或 $a_1 = 0.3275$。稳定性要求 $|a_1| < 1$，所以取 $a_1 = 0.3275$，对应 $b_0 = 1 - 0.3275 = 0.6725$。

新的差分方程：

$$y[n] = 0.6725 \cdot x[n] + 0.3275 \cdot y[n-1]$$

结论：把反馈系数从 0.5 减小到 0.3275，截止频率就从 4.6 MHz 提高到 8 MHz。系数越小，”记忆”越弱，高频衰减越少，截止频率越高。

这些问题用差分方程一个都做不了，但用 Z 变换全都变成了代入公式。

1.8.3 FIR 滤波器的 Z 域描述

FIR 滤波器：

$$y[n] = \sum_{k=0}^{N} h[k] \cdot x[n-k]$$

Z 变换：

$$Y(z) = \sum_{k=0}^{N} h[k] \cdot z^{-k} \cdot X(z) = H(z) \cdot X(z)$$ $$H(z) = \sum_{k=0}^{N} h[k] \cdot z^{-k} = h[0] + h[1]z^{-1} + h[2]z^{-2} + \cdots + h[N]z^{-N}$$

FIR 的传递函数只有分子（$N$ 阶多项式），分母为 1。这意味着：

• FIR 只有零点，没有极点（极点全在原点）
• 没有极点 = 没有反馈 = 绝对稳定，不可能振荡
• 系数 $h[k]$ 就是传递函数的 $z^{-k}$ 系数，直接对应

1.8.4 IIR 滤波器的 Z 域描述

一般 IIR 滤波器：

$$y[n] = \sum_{k=0}^{M} b_k \cdot x[n-k] - \sum_{k=1}^{N} a_k \cdot y[n-k]$$

Z 变换：

$$Y(z) = \sum_{k=0}^{M} b_k z^{-k} X(z) - \sum_{k=1}^{N} a_k z^{-k} Y(z)$$ $$Y(z)\left(1 + \sum_{k=1}^{N} a_k z^{-k}\right) = X(z)\sum_{k=0}^{M} b_k z^{-k}$$ $$H(z) = \frac{\sum_{k=0}^{M} b_k z^{-k}}{1 + \sum_{k=1}^{N} a_k z^{-k}}$$

IIR 的传递函数分子分母都有（既有零点又有极点）。极点的位置决定了系统是否稳定——所有极点必须在单位圆内（$|z| < 1$），否则输出会发散。

1.8.5 一阶 IIR 高通滤波器

现在看高通的例子。一阶 IIR 高通滤波器的差分方程为：

$$y[n] = a_0 \cdot (y[n-1] + x[n] - x[n-1])$$

展开：$y[n] = a_0 \cdot y[n-1] + a_0 \cdot x[n] - a_0 \cdot x[n-1]$

Z 变换（每一项分别利用时移性质）：

$$Y(z) = a_0 z^{-1} Y(z) + a_0 X(z) - a_0 z^{-1} X(z)$$ $$Y(z)(1 - a_0 z^{-1}) = a_0(1 - z^{-1})X(z)$$ $$H(z) = \frac{a_0(1 - z^{-1})}{1 - a_0 z^{-1}}$$

和 7.1 节的低通对比，分母完全一样（极点都在 $z = a_0$），区别全在分子：多了一个 $(1 - z^{-1})$ 因子，它在 $z = 1$（直流）处引入零点，把直流增益压到 0 —— 这正是高通的特征。

分母极点在 $z = a_0$，当 $0 < a_0 < 1$ 时极点在单位圆内，系统稳定。$a_0$ 越接近 1，极点越靠近零点 $z = 1$，两者几乎对消，只有极低的频率才会被滤掉（截止频率很低）。$a_0$ 越小，极点远离零点，更宽的低频范围被抑制（截止频率升高）。

以 $a_0 = 0.73, \; f_s = 40$ MHz 为例，截止频率：

$$f_c = \frac{f_s \cdot (1 - a_0)}{2\pi \cdot a_0} = \frac{40 \times 10^6 \times 0.27}{2\pi \times 0.73} \approx 2.35 \text{ MHz}$$

2.35 MHz 以下的信号被逐渐衰减（滚降 -20 dB/dec），以上的信号基本不受影响。如果把 $a_0$ 调到 0.95，截止频率降到约 0.34 MHz，几乎只滤直流。

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1.9 总结：Z 变换到底简化了什么

没有 Z 变换时	有了 Z 变换后
差分方程：逐拍递推，只能看局部	传递函数 $H(z)$：一个公式描述整个系统
要求频率响应：对每个频率做仿真	令 $z = e^{j\omega}$，代入就出来
要判断稳定性：跑很长的仿真看是否发散	看极点是否在单位圆内
设计滤波器：试凑系数	指定频率指标，解方程得系数
分析级联系统：展开所有差分方程	传递函数直接相乘 $H_1(z) \cdot H_2(z)$
卷积计算：$O(N^2)$ 的逐点乘加	$Z$ 域乘法，一步完成

Z 变换不是一个抽象的数学游戏，它是让你**从”只能仿真”变成”可以计算”**的核心工具。没有它，数字滤波器的设计就只能靠直觉和试错；有了它，设计变成了解方程。

下一篇我们用 Z 变换的视角重新审视 FIR 和 IIR 滤波器的设计，你会发现之前看不懂的公式现在都变得自然了

二、拉普拉斯变换

三、傅里叶变换