滤波器（数字&模拟）

一、模拟滤波器

二、数字滤波器

数字滤波器是数字信号处理的核心工具，作用是对离散时间信号进行频率选择——保留想要的频率成分，抑制不想要的部分。根据系统的冲激响应是否有限，分为两大类：FIR（有限冲激响应）和 IIR（无限冲激响应）。

2.1 FIR 滤波器

2.1.1 原理

什么是 FIR

FIR（Finite Impulse Response，有限冲激响应）滤波器的输出只取决于当前和过去有限个输入值的加权和，不存在输出到输入的反馈。它的差分方程为：

$$y[n] = \sum_{k=0}^{N} h[k] \cdot x[n-k]$$

展开写就是：

$$y[n] = h[0] \cdot x[n] + h[1] \cdot x[n\!-\!1] + h[2] \cdot x[n\!-\!2] + \cdots + h[N] \cdot x[n\!-\!N]$$

其中：

• $x[n]$ 是当前输入采样值，$x[n-k]$ 是 $k$ 个采样周期之前的输入
• $h[k]$ 是滤波器系数（也叫 tap 系数或冲激响应）
• $N$ 是滤波器的阶数，$N+1$ 是 tap 数（系数个数）
• $y[n]$ 是当前输出

整个计算就是一个”滑动窗口内的加权求和”：窗口宽度为 $N+1$，每个位置的权重由 $h[k]$ 决定。

Z 域传递函数

对差分方程做 Z 变换，得到传递函数：

$$H(z) = \sum_{k=0}^{N} h[k] \cdot z^{-k} = h[0] + h[1] \cdot z^{-1} + h[2] \cdot z^{-2} + \cdots + h[N] \cdot z^{-N}$$

分子是 $N$ 阶多项式，分母为 1（没有反馈极点），这就是 FIR “有限”的原因：系统只有零点没有极点（极点全在原点），冲激响应在 $N$ 个采样后自然归零，不会像 IIR 那样无限延续。

频率响应

令 $z = e^{j\omega}$（单位圆上的点），得到频率响应：

$$H(e^{j\omega}) = \sum_{k=0}^{N} h[k] \cdot e^{-jk\omega}$$

其中 $\omega = \frac{2\pi f}{f_s}$ 是归一化角频率，$f$ 是实际频率，$f_s$ 是采样率。

幅度响应为：

$$|H(e^{j\omega})| = \left| \sum_{k=0}^{N} h[k] \cdot e^{-jk\omega} \right|$$

转成 dB 表示：

$$A(f) = 20 \cdot \log_{10} |H(e^{j\omega})| \quad \text{dB}$$

线性相位特性

FIR 滤波器最重要的优势是可以实现严格的线性相位。当系数满足对称条件 $h[k] = h[N-k]$ 时，相位响应为：

$$\angle H(e^{j\omega}) = -\frac{N}{2} \cdot \omega$$

相位是频率的线性函数，这意味着所有频率成分经过滤波器后的延迟量相同，都是 $N/2$ 个采样周期。信号的波形形状不会因为相位失真而畸变，只是整体延迟了一段时间。

这个性质对超声成像、通信系统等对波形保真度要求高的应用至关重要。IIR 滤波器做不到严格的线性相位。

窗函数设计法

设计 FIR 滤波器最直观的方法是窗函数法。以低通滤波器为例：

第一步，写出理想低通滤波器的冲激响应（无限长）：

$$h_d[n] = \frac{\omega_c}{\pi} \cdot \text{sinc}\left(\frac{\omega_c}{\pi}(n - \frac{N}{2})\right) = \frac{\sin(\omega_c(n - N/2))}{\pi(n - N/2)}$$

其中 $\omega_c = \frac{2\pi f_c}{f_s}$ 是截止频率对应的归一化角频率。

第二步，用窗函数 $w[n]$ 截断为有限长度：

$$h[n] = h_d[n] \cdot w[n], \quad n = 0, 1, \ldots, N$$

不同的窗函数在”主瓣宽度”和”旁瓣衰减”之间做取舍：

窗函数	阻带衰减	主瓣宽度	特点
矩形窗	-13 dB	$4\pi/(N+1)$	频率分辨率最高，但旁瓣最大
汉宁窗	-31 dB	$8\pi/(N+1)$	旁瓣下降快（-18 dB/oct）
汉明窗	-43 dB	$8\pi/(N+1)$	工程中最常用，平衡性好
布莱克曼窗	-58 dB	$12\pi/(N+1)$	阻带衰减最大，但过渡带最宽

阻带衰减越大意味着被滤掉的频率被抑制得越彻底，但代价是过渡带（从通带到阻带的过渡区域）越宽。对于固定的窗函数，增大阶数 $N$ 可以收窄过渡带但不能改善阻带衰减，阻带衰减由窗函数类型决定。

窗函数的数学表达式：

矩形窗：$w[n] = 1$

汉明窗：$w[n] = 0.54 - 0.46\cos\left(\frac{2\pi n}{N}\right)$

汉宁窗：$w[n] = 0.5 - 0.5\cos\left(\frac{2\pi n}{N}\right)$

布莱克曼窗：$w[n] = 0.42 - 0.5\cos\left(\frac{2\pi n}{N}\right) + 0.08\cos\left(\frac{4\pi n}{N}\right)$

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2.1.2 一阶 FIR

一阶 FIR 是最简单的情况（$N=1$，2 个 tap）：

$$y[n] = h[0] \cdot x[n] + h[1] \cdot x[n-1]$$

一阶 FIR 差分器（高通）

令 $h[0] = 1, \; h[1] = -1$：

$$y[n] = x[n] - x[n-1]$$

这就是一阶差分，频率响应为：

$$H(e^{j\omega}) = 1 - e^{-j\omega} = e^{-j\omega/2} \cdot 2j \sin(\omega/2)$$

幅度响应 $|H| = 2|\sin(\omega/2)|$：$\omega=0$（直流）时为 0，$\omega=\pi$（奈奎斯特频率）时为 2。这是一个高通特性——频率越高幅度越大。

一阶 FIR 平均器（低通）

令 $h[0] = 0.5, \; h[1] = 0.5$：

$$y[n] = 0.5 \cdot x[n] + 0.5 \cdot x[n-1]$$

相邻两个采样取平均，频率响应为：

$$|H| = |\cos(\omega/2)|$$ $\omega=0$ 时为 1（直流全通），$\omega=\pi$ 时为 0（最高频完全抑制）。这是最简单的低通滤波器，但过渡带非常宽，衰减只有 $-6$ dB/oct，实际工程中几乎不会单独使用。

一阶 FIR 的局限性

一阶 FIR 只有 2 个系数，无法实现陡峭的截止特性。它的滚降斜率只有 -6 dB/oct（-20 dB/dec），无论怎么调系数都不可能超过这个限制。要想得到更好的滤波效果，必须增加阶数。

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2.1.3 多阶 FIR

阶数与性能的关系

增加阶数 $N$ 的效果：

• 过渡带变窄：从通带到阻带的过渡更陡峭
• 群延迟增大：固定为 $N/2$ 个采样周期，阶数越高延迟越大
• 资源消耗增大：$N+1$ 个乘法器 + $N$ 个加法器 + $N$ 个延迟寄存器
• 阻带衰减不变：由窗函数类型决定，和阶数无关

工程中需要在”过渡带宽度”和”延迟/资源”之间折中。粗略估算公式（汉明窗）：

$$N \approx \frac{8\pi}{\Delta\omega} = \frac{4 f_s}{\Delta f}$$

其中 $\Delta f$ 是期望的过渡带宽度（Hz）。例如 $f_s = 40$ MHz，期望过渡带 2 MHz，则 $N \approx 4 \times 40 / 2 = 80$ 阶。

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2.1.4 FIR 交互仿真

下方交互组件支持调节滤波器类型（低通/高通/带通）、窗函数、阶数、采样频率和截止频率，实时观察幅度响应、相位响应、冲激响应和系数值：

仿真建议

1. 观察阶数对过渡带的影响：固定汉明窗 + 低通 + fc=5MHz + fs=40MHz，把阶数从 4 拖到 128，观察过渡带逐渐变窄的过程，同时注意阻带衰减始终维持在 -43 dB 附近不变

2. 对比不同窗函数：固定阶数 32 + 低通 + fc=5MHz，依次切换矩形窗/汉宁窗/汉明窗/布莱克曼窗，观察旁瓣高度和主瓣宽度的变化——阻带衰减依次改善但过渡带依次变宽

3. 观察线性相位：切到”相位响应”标签页，可以看到相位是频率的线性函数（一条直线），斜率 $= -N/2$，阶数越高斜率越陡

4. 系数对称性：切到”冲激响应”标签页，可以直观看到 $h[k]$ 关于中心 $N/2$ 对称，这就是线性相位的充要条件

5. 带通滤波器：切换到带通模式，可以看到两个截止频率之间的通带，以及通带两侧的衰减。带通 FIR 的阶数通常需要比同等过渡带的低通/高通更高

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2.1.5 插值与滤波的边界

为什么要讨论这个问题

如果你看了前面的 FIR 原理，再看 interp.v 中的插值公式：

$$y = \frac{-1 \cdot r_0 + 6 \cdot r_1 + 3 \cdot r_2}{8}$$

你一定会觉得：这不就是一个 3-tap FIR 滤波器吗？系数 $h = [-1/8, \; 6/8, \; 3/8]$，延迟线 + 乘加 + 求和，和标准 FIR 的结构一模一样。

没错，插值就是一种特殊的 FIR 滤波器。两者的数学形式完全相同：

$$y[n] = \sum_{k=0}^{N} h[k] \cdot x[n-k]$$

硬件结构也完全相同：寄存器链 + 系数乘法 + 加法器。FPGA 综合出来的电路长得一样，不存在一种叫”插值器”的硬件和一种叫”滤波器”的硬件。

那区别到底在哪

区别不在数学结构上，而在设计系数时的目标不同：

滤波器的系数来自频率指标。 你先说”我要截止频率 5 MHz、阻带衰减 40 dB 的低通”，然后用窗函数法或优化算法在频域上设计系数。设计目标是让幅度响应曲线长成你想要的形状。

插值器的系数来自时间偏移量。 你先说”我要估算两个采样点之间偏移 0.5 个周期处的值”，然后用 Lagrange 插值公式算系数。设计目标是让输出在时间轴上准确地落在你指定的位置。

同一组系数 $[-1, 6, 3]/8$，如果你是从 Lagrange 公式在 $p=0.5$ 处算出来的，那它叫插值器；如果你恰好通过频域优化也得到了这组系数，那它叫滤波器。系数一样，电路一样，只是设计出发点不同。

为什么插值器会”顺带”做低通

因为”在时间轴上做平滑插值”和”在频率轴上做低通滤波”是同一件事的两种描述。

以 interp.v 为例，它把 40 MHz 采样率提升到 80 MHz。从频域的角度看，上采样的标准做法是：在原始采样点之间插入零值，然后用低通滤波器去掉因上采样引入的 20~40 MHz 镜像频谱。Lagrange 插值器本质上就在做这个低通滤波，只不过它的系数不是从频率指标设计的，而是从时域的插值精度推导的。

工程实例：interp.v 的频率响应推导

现在定量分析这个”顺带的低通”到底滤了多少。

interp.v 的插值系数为 $h[0] = -1/8, \; h[1] = 6/8, \; h[2] = 3/8$，采样率 $f_s = 40$ MHz。

频率响应：

$$H(e^{j\omega}) = h[0] + h[1] \cdot e^{-j\omega} + h[2] \cdot e^{-2j\omega} = -\frac{1}{8} + \frac{6}{8}e^{-j\omega} + \frac{3}{8}e^{-2j\omega}$$

幅度响应取模。先分离实部和虚部：

$$\text{Re}(H) = -\frac{1}{8} + \frac{6}{8}\cos\omega + \frac{3}{8}\cos 2\omega$$ $$\text{Im}(H) = -\frac{6}{8}\sin\omega - \frac{3}{8}\sin 2\omega$$ $$|H(e^{j\omega})| = \sqrt{\text{Re}^2 + \text{Im}^2}$$

下面在几个关键频率处逐一代入计算。

直流（$f = 0$ MHz）：

$$\omega = 0, \quad \cos 0 = 1, \quad \sin 0 = 0$$ $$\text{Re} = -\frac{1}{8} + \frac{6}{8} + \frac{3}{8} = \frac{-1 + 6 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1$$ $$\text{Im} = 0$$ $$|H| = 1.000, \quad A = 20\log_{10}(1) = 0 \text{ dB}$$

直流增益为 1，信号完全通过。

$f = 3$ MHz（超声低端）：

$$\omega = \frac{2\pi \times 3}{40} = 0.4712 \text{ rad}$$ $$\cos\omega = 0.8910, \quad \sin\omega = 0.4540, \quad \cos 2\omega = 0.5878, \quad \sin 2\omega = 0.8090$$ $$\text{Re} = -0.125 + 0.75 \times 0.8910 + 0.375 \times 0.5878 = -0.125 + 0.6683 + 0.2204 = 0.7637$$ $$\text{Im} = -0.75 \times 0.4540 - 0.375 \times 0.8090 = -0.3405 - 0.3034 = -0.6439$$ $$|H| = \sqrt{0.7637^2 + 0.6439^2} = \sqrt{0.5832 + 0.4146} = \sqrt{0.9978} = 0.9989$$ $$A = 20\log_{10}(0.9989) = -0.01 \text{ dB}$$

3 MHz 处几乎零衰减，信号保留 99.9%。

$f = 5$ MHz（超声中心频率）：

$$\omega = \frac{2\pi \times 5}{40} = \frac{\pi}{4} = 0.7854 \text{ rad}$$ $$\cos\omega = 0.7071, \quad \sin\omega = 0.7071, \quad \cos 2\omega = 0, \quad \sin 2\omega = 1$$ $$\text{Re} = -0.125 + 0.75 \times 0.7071 + 0.375 \times 0 = -0.125 + 0.5303 = 0.4053$$ $$\text{Im} = -0.75 \times 0.7071 - 0.375 \times 1 = -0.5303 - 0.375 = -0.9053$$ $$|H| = \sqrt{0.4053^2 + 0.9053^2} = \sqrt{0.1643 + 0.8196} = \sqrt{0.9839} = 0.9919$$ $$A = 20\log_{10}(0.9919) = -0.07 \text{ dB}$$

5 MHz 处衰减 0.07 dB，信号保留 99.2%。

$f = 10$ MHz（超声高端）：

$$\omega = \frac{2\pi \times 10}{40} = \frac{\pi}{2} = 1.5708 \text{ rad}$$ $$\cos\omega = 0, \quad \sin\omega = 1, \quad \cos 2\omega = -1, \quad \sin 2\omega = 0$$ $$\text{Re} = -0.125 + 0.75 \times 0 + 0.375 \times (-1) = -0.125 - 0.375 = -0.5$$ $$\text{Im} = -0.75 \times 1 - 0.375 \times 0 = -0.75$$ $$|H| = \sqrt{0.5^2 + 0.75^2} = \sqrt{0.25 + 0.5625} = \sqrt{0.8125} = 0.9014$$ $$A = 20\log_{10}(0.9014) = -0.90 \text{ dB}$$

10 MHz 处衰减 0.9 dB，信号保留 90.1%。

$f = 15$ MHz（信号上边界附近）：

$$\omega = \frac{2\pi \times 15}{40} = \frac{3\pi}{4} = 2.3562 \text{ rad}$$ $$\cos\omega = -0.7071, \quad \sin\omega = 0.7071, \quad \cos 2\omega = 0, \quad \sin 2\omega = -1$$ $$\text{Re} = -0.125 + 0.75 \times (-0.7071) + 0.375 \times 0 = -0.125 - 0.5303 = -0.6553$$ $$\text{Im} = -0.75 \times 0.7071 - 0.375 \times (-1) = -0.5303 + 0.375 = -0.1553$$ $$|H| = \sqrt{0.6553^2 + 0.1553^2} = \sqrt{0.4294 + 0.0241} = \sqrt{0.4535} = 0.6734$$ $$A = 20\log_{10}(0.6734) = -3.43 \text{ dB}$$

15 MHz 处衰减 3.43 dB，信号保留 67.3%。

$f = 20$ MHz（奈奎斯特频率）：

$$\omega = \frac{2\pi \times 20}{40} = \pi$$ $$\cos\omega = -1, \quad \sin\omega = 0, \quad \cos 2\omega = 1, \quad \sin 2\omega = 0$$ $$\text{Re} = -0.125 + 0.75 \times (-1) + 0.375 \times 1 = -0.125 - 0.75 + 0.375 = -0.5$$ $$\text{Im} = 0$$ $$|H| = 0.5$$ $$A = 20\log_{10}(0.5) = -6.02 \text{ dB}$$

奈奎斯特处衰减 6 dB，信号只剩一半。

汇总

频率	$\omega$ (rad)	Re(H)	Im(H)	$\|H\|$	dB	信号保留
0 MHz	0	1.000	0	1.000	0	100%
3 MHz	0.471	0.764	-0.644	0.999	-0.01	99.9%
5 MHz	0.785	0.405	-0.905	0.992	-0.07	99.2%
7 MHz	1.100	0.020	-0.941	0.941	-0.53	94.1%
10 MHz	1.571	-0.500	-0.750	0.901	-0.90	90.1%
15 MHz	2.356	-0.655	-0.155	0.673	-3.43	67.3%
20 MHz	3.142	-0.500	0	0.500	-6.02	50.0%

对超声信号的实际影响

超声探头的典型工作频段是 3~10 MHz：

• 3 MHz：损失 0.01 dB，几乎零影响
• 5 MHz（中心频率）：损失 0.07 dB，完全可忽略
• 10 MHz（带宽上边界）：损失 0.9 dB，开始有轻微影响但仍可接受

对于超声成像来说，1~2 dB 的幅度损失可以通过后续的增益补偿修正。而且 128 个通道都用同样的插值系数，衰减量完全一致，不会引入通道间的不一致性。波束合成关心的是通道间的相对幅度和相位，不是绝对幅度。

1520 MHz 的衰减较大（36 dB），但这些频率对于 3~10 MHz 工作频段的探头来说已经不在有效带宽内了。

那为什么不用更高阶的插值器

理论上用更多 tap（比如 sinc 插值 8 点、16 点）可以让通带内衰减更小、镜像抑制更好。但代价是：128 通道并行，每多一个 tap 就多 128 个乘法器。3-tap 只需要 128 x 3 = 384 个乘加操作（而且用移位代替了乘法，实际不消耗 DSP），而 8-tap 需要 1024 个真正的乘法器。

设计者选择 3-tap Lagrange 插值，是在”插值精度（通带内 < 1 dB 损失）”、”高频保真度”和”资源消耗”之间做的权衡。对于这个超声成像系统来说，3-tap 已经是甜蜜点。

判断标准：什么时候叫插值，什么时候叫滤波

判断标准不是看公式长什么样，而是看设计意图：

叫插值： 你关心的是”时间轴上某个位置的值是多少”。系数从插值公式（Lagrange、sinc 等）推导，优化目标是时域精度。频率响应是什么样你不太关心，只要插值精度够高就行。interp.v 就是这种情况。

叫滤波： 你关心的是”某个频段保留多少、另一个频段衰减多少”。系数从频率指标（截止频率、阻带衰减）设计，优化目标是频率选择性。时域波形会变成什么样你不太关心。IIR.v 的高通滤波就是这种情况。

两者兼有： 数字上采样（插零 + 低通滤波），这里的低通既是去镜像的滤波器，又是填充零值间隙的插值器。

一句话总结：插值是滤波的一种特例。所有插值器都可以看作一个特定系数的 FIR 滤波器，但不是所有滤波器都在做插值。区别在于你设计系数时脑子里想的是”时间偏移”还是”频率选择”。

2.2 IIR 滤波器

2.2.1 原理

什么是 IIR

IIR（Infinite Impulse Response，无限冲激响应）滤波器的输出不仅取决于当前和过去的输入，还取决于过去的输出值，形成反馈。它的一般差分方程为：

$$y[n] = \sum_{k=0}^{M} b_k \cdot x[n-k] - \sum_{k=1}^{N} a_k \cdot y[n-k]$$

展开写：

$$y[n] = b_0 \cdot x[n] + b_1 \cdot x[n!-!1] + \cdots + b_M \cdot x[n!-!M] - a_1 \cdot y[n!-!1] - a_2 \cdot y[n!-!2] - \cdots - a_N \cdot y[n!-!N]$$

和 FIR 的关键区别：等号右边出现了 $y[n-1], y[n-2], \ldots$（过去的输出），这构成了反馈回路。输出会影响未来的输出，系统有”记忆”，冲激响应理论上无限长（不会像 FIR 那样在 $N$ 个采样后自然归零）。

其中：

• $b_k$ 是前馈系数（feedforward），作用于输入 $x$，共 $M+1$ 个
• $a_k$ 是反馈系数（feedback），作用于历史输出 $y$，共 $N$ 个（$a_0 = 1$ 已归一化）
• $M$ 是前馈阶数，$N$ 是反馈阶数，系统阶数取两者的较大值

Z 域传递函数

对差分方程做 Z 变换（利用时移性质 $y[n-k] \leftrightarrow z^{-k}Y(z)$）：

$$Y(z) = \sum_{k=0}^{M} b_k z^{-k} X(z) - \sum_{k=1}^{N} a_k z^{-k} Y(z)$$

移项整理：

$$Y(z)\left(1 + \sum_{k=1}^{N} a_k z^{-k}\right) = X(z)\sum_{k=0}^{M} b_k z^{-k}$$

得到传递函数：

$$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\sum_{k=0}^{M} b_k z^{-k}}{1 + \sum_{k=1}^{N} a_k z^{-k}} = \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + \cdots + b_M z^{-M}}{1 + a_1 z^{-1} + \cdots + a_N z^{-N}}$$

和 FIR 对比：FIR 的传递函数分母为 1（没有反馈），只有零点没有极点。IIR 的分母是 $N$ 阶多项式，既有零点又有极点。极点是 IIR 性能的核心——它们决定了频率响应的形状和系统的稳定性。

频率响应

令 $z = e^{j\omega}$：

$$H(e^{j\omega}) = \frac{\sum_{k=0}^{M} b_k \cdot e^{-jk\omega}}{1 + \sum_{k=1}^{N} a_k \cdot e^{-jk\omega}}$$

幅度响应：

$$|H(e^{j\omega})| = \frac{\left|\sum_{k=0}^{M} b_k \cdot e^{-jk\omega}\right|}{\left|1 + \sum_{k=1}^{N} a_k \cdot e^{-jk\omega}\right|}$$

极点附近频率的分母接近零，幅度响应出现峰值（共振）；零点附近频率的分子接近零，幅度响应出现凹谷（抑制）。设计 IIR 滤波器的本质就是把极点和零点放在合适的位置，雕刻出你想要的频率响应曲线。

稳定性

IIR 有反馈就有可能不稳定。稳定性判据是：

$$\text{所有极点必须在单位圆内：} |z_p| < 1$$

极点就是传递函数分母多项式的根。如果某个极点 $z_p$ 的模 $|z_p| \geq 1$，系统的冲激响应会按 $|z_p|^n$ 指数增长，输出发散。

直觉理解：反馈系数决定了”每一拍有多少比例的输出被重新注入系统”。如果反馈太强（系数太大），每一拍注入的能量比衰减的多，系统就像话筒对着音箱——越来越响直到爆掉。极点在单位圆内等价于反馈衰减率大于注入率，系统能自我收敛。

FIR 不存在这个问题，因为没有反馈，所有极点都在原点（$z = 0$），绝对稳定。

IIR 与 FIR 的对比

	FIR	IIR
反馈	无	有
冲激响应	有限长（$N+1$ 个点后归零）	无限长（理论上永不归零）
极点	全在原点，绝对稳定	在 $z$ 平面任意位置，可能不稳定
线性相位	系数对称时严格线性	一般做不到线性相位
同等滤波效果的阶数	高（可能需要几十上百阶）	低（通常 2~6 阶就够）
资源消耗	$N+1$ 个乘法器	通常远少于 FIR
设计方法	窗函数法 / 频率采样 / 最优化	模拟原型 + 双线性变换

一句话总结：FIR 用”数量”换”安全”（阶数多但绝对稳定），IIR 用”技巧”换”效率”（阶数少但需要仔细控制稳定性）。

为什么 IIR 的阶数低得多

根本原因是极点的存在。FIR 只有零点，要实现陡峭的截止必须堆很多零点来逐步压低阻带增益。IIR 有极点可用：在通带边缘放一个极点会让该频率附近的增益急剧上升，配合零点在阻带的抑制，只需要很少的极零对就能构造出非常陡峭的过渡带。

一个二阶 IIR 的滚降是 -40 dB/dec，要达到同样的滚降，FIR 可能需要 30~50 阶。

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2.2.2 一阶 IIR

一阶 IIR 是最简单的有反馈系统（$N=1$），只有一个极点。

一阶 IIR 低通

$$y[n] = (1-a) \cdot x[n] + a \cdot y[n-1]$$

传递函数：

$$H(z) = \frac{1-a}{1 - a z^{-1}}$$

极点在 $z = a$，没有零点。

直流增益（$\omega = 0, ; z = 1$）：$H(1) = \frac{1-a}{1-a} = 1$，直流全通。

奈奎斯特增益（$\omega = \pi, ; z = -1$）：$H(-1) = \frac{1-a}{1+a}$，随 $a$ 增大而减小。

$a$ 越接近 1，极点越靠近单位圆，低频增益维持得越久才开始下降，截止频率越低。$a$ 越接近 0，极点靠近原点，衰减从很低频就开始了，截止频率越高。

截止频率（-3 dB）的精确公式推导：

$$|H(e^{j\omega})|^2 = \frac{(1-a)^2}{1 + a^2 - 2a\cos\omega} = \frac{1}{2} \cdot |H(0)|^2 = \frac{1}{2}$$

解出：

$$\cos\omega_c = \frac{2a - (1-a)^2 \cdot 0}{...}$$

比较复杂，近似公式（$a$ 接近 1 时精度很好）：

$$f_c \approx \frac{f_s \cdot (1-a)}{2\pi \cdot a}$$

以 $a = 0.5, ; f_s = 40$ MHz 为例：$f_c \approx \frac{40 \times 0.5}{2\pi \times 0.5} \approx 6.37$ MHz。

一阶 IIR 高通

$$y[n] = a \cdot (y[n-1] + x[n] - x[n-1])$$

展开：$y[n] = a \cdot y[n-1] + a \cdot x[n] - a \cdot x[n-1]$

传递函数：

$$H(z) = \frac{a(1 - z^{-1})}{1 - a z^{-1}}$$

和低通对比，分母（极点）完全一样，区别全在分子：多了 $(1 - z^{-1})$，在 $z = 1$（直流）引入零点。

直流增益：$H(1) = \frac{a(1-1)}{1-a} = 0$，直流完全抑制。

奈奎斯特增益：$H(-1) = \frac{a(1+1)}{1+a} = \frac{2a}{1+a}$，接近 1（$a \to 1$ 时趋近 1）。

截止频率近似公式和低通相同：

$$f_c \approx \frac{f_s \cdot (1-a)}{2\pi \cdot a}$$

以 $a = 0.73, ; f_s = 40$ MHz 为例：$f_c \approx \frac{40 \times 0.27}{2\pi \times 0.73} \approx 2.35$ MHz。

一阶 IIR 的局限性

和一阶 FIR 类似，一阶 IIR 的滚降只有 -20 dB/dec（-6 dB/oct），过渡带很宽。如果需要更陡的截止，必须提升阶数。

但一阶 IIR 比一阶 FIR 有一个决定性优势：可调性。FIR 的频率响应由系数固定，改截止频率就要重新设计整组系数。一阶 IIR 只需要改一个参数 $a$，截止频率连续可调，而且直流增益始终为 1（低通）或 0（高通），不需要额外归一化。

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2.2.3 多阶 IIR

阶数与性能的关系

增加阶数 $N$ 的效果：

• 过渡带变窄：滚降从 -20 dB/dec（一阶）变成 -40 dB/dec（二阶）、-60 dB/dec（三阶）……
• 频率响应形状更灵活：更多极零对可以精细雕刻通带、阻带、过渡带
• 稳定性风险增大：极点越多，越容易有某个极点跑到单位圆外
• 相位非线性加重：极点越多，群延迟波动越大

经典模拟原型

高阶 IIR 通常不直接在 $z$ 域设计，而是先在连续域（$s$ 域）设计一个模拟滤波器原型，再通过双线性变换映射到 $z$ 域。四种经典原型：

Butterworth（巴特沃斯）： 通带最大平坦（没有波纹），但过渡带最宽。$N$ 阶 Butterworth 的极点均匀分布在 $s$ 平面左半圆上。如果对通带内的平坦度要求很高（比如测量仪器），选它。

Chebyshev I（切比雪夫 I 型）： 允许通带内有等波纹，换来更窄的过渡带。波纹幅度由参数指定（比如 1 dB）。同样阶数下过渡带比 Butterworth 窄约 30%~50%，代价是通带不平坦。

Chebyshev II（切比雪夫 II 型）： 通带平坦，但阻带有等波纹。适合”通带一定要平、阻带可以有纹”的场景。

Elliptic（椭圆 / Cauer）： 通带和阻带都允许等波纹。同样阶数下过渡带最窄，代价是相位非线性最严重。如果阶数受限但对过渡带要求苛刻，选它。

类型	通带	阻带	过渡带	相位
Butterworth	最大平坦	单调下降	最宽	较好
Chebyshev I	等波纹	单调下降	较窄	较差
Chebyshev II	最大平坦	等波纹	较窄	较差
Elliptic	等波纹	等波纹	最窄	最差

从 Butterworth 到 Elliptic，过渡带依次变窄，但相位非线性和通带/阻带波纹依次加重。没有”最好的”，只有”最适合你需求的”。

双线性变换

模拟原型 $H_a(s)$ 映射到数字域 $H(z)$ 的标准方法。映射公式：

$$s = \frac{2}{T} \cdot \frac{1 - z^{-1}}{1 + z^{-1}}$$

几何意义：

• $s$ 平面的虚轴（$j\Omega$）映射到 $z$ 平面的单位圆
• $s$ 的左半平面映射到 $z$ 的单位圆内部
• 稳定的模拟滤波器映射后仍然稳定

代价是频率轴被非线性压缩。模拟频率 $\Omega$ 和数字频率 $\omega$ 的关系：

$$\Omega = \frac{2}{T}\tan\frac{\omega}{2}$$ $\omega$ 从 0 到 $\pi$ 时，$\Omega$ 从 0 到 $\infty$。低频段近似线性，高频段严重压缩。所以需要**频率预畸变**：设计模拟原型时故意把截止频率设偏，让双线性变换压缩后恰好落在目标位置。

完整设计流程

频率指标 (截止频率, 通带波纹, 阻带衰减, 采样率)
    |
    v
选择原型: Butterworth / Chebyshev I / Chebyshev II / Elliptic
    |
    v
Step 1: 在 s 域设计模拟原型 Ha(s)
    |
    v
Step 2: 频率预畸变 (补偿双线性变换的频率压缩)
    |
    v
Step 3: 双线性变换 s -> z, 得到 H(z)
    |
    v
输出分子系数 b[0:M] 和分母系数 a[0:N]
    |
    v
H(z) = (b[0] + b[1]*z^-1 + ... + b[M]*z^-M) / (1 + a[1]*z^-1 + ... + a[N]*z^-N)

二阶 IIR 数值例子

以二阶 Butterworth 低通为例，$f_c = 5$ MHz，$f_s = 40$ MHz：

Step 1：频率预畸变

$$\omega_c = \frac{2\pi f_c}{f_s} = \frac{2\pi \times 5}{40} = \frac{\pi}{4}$$ $$\Omega_c = \frac{2}{T}\tan\frac{\omega_c}{2} = 2 f_s \tan\frac{\pi/4}{2} = 80 \times 10^6 \times \tan(0.3927) = 80 \times 10^6 \times 0.4142 = 33.14 \times 10^6$$

Step 2：二阶 Butterworth 模拟原型

归一化原型：$H_a(s) = \frac{1}{s^2 + \sqrt{2}s + 1}$

去归一化（$s \to s/\Omega_c$）：$H_a(s) = \frac{\Omega_c^2}{s^2 + \sqrt{2}\Omega_c s + \Omega_c^2}$

Step 3：双线性变换

代入 $s = \frac{2}{T} \cdot \frac{1-z^{-1}}{1+z^{-1}}$，经过代数化简（过程较繁琐，此处给出结果），得到：

$$H(z) = \frac{0.0675(1 + 2z^{-1} + z^{-2})}{1 - 1.1430z^{-1} + 0.4128z^{-2}}$$

验证：

• 直流增益（$z=1$）：$H(1) = \frac{0.0675 \times 4}{1 - 1.1430 + 0.4128} = \frac{0.2700}{0.2698} \approx 1.0$（正确，低通直流增益为 1）
• 极点：解 $1 - 1.1430z^{-1} + 0.4128z^{-2} = 0$，得 $z = 0.5715 \pm j0.3958$，$|z| = 0.695 < 1$（稳定）
• 零点：$z = -1$（双重零点），对应奈奎斯特频率的完全抑制

对应的差分方程：

$$y[n] = 0.0675 \cdot x[n] + 0.1350 \cdot x[n!-!1] + 0.0675 \cdot x[n!-!2] + 1.1430 \cdot y[n!-!1] - 0.4128 \cdot y[n!-!2]$$

只需要 5 次乘法 + 4 次加法就实现了一个 -40 dB/dec 滚降的低通滤波器。如果用 FIR 达到同样的滚降和过渡带宽度，可能需要 30+ 个 tap（30+ 次乘法）。

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2.2.4 IIR 交互仿真

下方交互组件支持调节滤波器类型（低通/高通）、阶数（一阶/二阶）、系数 $a$ 和采样率，实时观察幅度响应、相位响应、冲激响应和系数值。

特别注意：把系数 $a$ 拖到大于 1.0 时，极点会跑到单位圆外，系统变得不稳定。切到”冲激响应”标签页可以直观看到输出如何指数发散。

交互实验建议

1. 观察 $a$ 对截止频率的影响：固定一阶高通 + fs=40MHz，把 $a$ 从 0.1 拖到 0.99，观察截止频率从十几 MHz 降到接近 0 的过程。$a$ 越接近 1，高通只滤掉极低频的直流分量
2. 对比一阶和二阶：固定高通 + a=0.73 + fs=40MHz，切换一阶和二阶。二阶的过渡带明显更陡（-40 dB/dec vs -20 dB/dec），但通带接近奈奎斯特时的行为也不同
3. 观察不稳定：把 $a$ 拖到 1.05 或更大，切到”冲激响应”标签页。稳定时冲激响应逐渐衰减趋近零，不稳定时指数增长（红色柱子越来越高）。这就是极点在单位圆外的物理含义
4. 对比高通和低通的冲激响应：同样 $a=0.73$，低通的冲激响应全是正值（指数衰减），高通的冲激响应正负交替（因为分子有 $(1-z^{-1})$ 差分因子）
5. 临界稳定（$a = 1.00$）：冲激响应既不增长也不衰减，保持常数或等幅振荡。这是稳定和不稳定的精确分界点，对应极点恰好在单位圆上